Journal of Mechanical Science and Technology(4区)：Modeling identification and control of a 6-DOF active vibration isolation system driving by voice coil motors with a Halbach array magnet
1. 本文存在的问题：
虽然采用HFs方法实现了状态方程中状态矩阵A的参数识别（即对施加的三个线性力和三个力矩到隔振台的作用矩阵进行校正），但主动控制回路中振动传感器振动信号到放大电路和控制器控制作用力经压流转换到音圈电机的非线性传递特性并未考虑，在高精度主动隔振中，传感器、电路和执行器的传递特性均会影响最终的振动抑制效果。
2.本文贡献：
将考虑端部效应的片流模型应用于音圈电机的设计；首次将复合非线性反馈控制器引入隔振系统的控制中；通过HF方法基于识别参数来设计CNF控制器。
3.引言部分：
将工作环境的外部振动和干扰控制在合理范围内对高端产品制造具有重要意义，特别是在纳米计量、高精度定位系统和超精密制造中[1-3]。
设计了包括正刚度和负刚度元件的准零刚度（QZS）隔振系统，与线性方案相比，该系统提供了更低的谐振频率和更宽的频带[6]。隔振方式可分为被动隔振方式和主动隔振方式两类。
被动法在高频振动情况下效果良好。然而，它对低频情况几乎没有影响。幸运的是，主动隔振的应用可以提高低频情况下的性能[8]。
由于音圈电机（VCM）的高加速度、高速和快速驱动特性，研究其特性吸引了许多研究人员[9，10]。然而，VCM的输出力并不密集，这在某些情况下限制了VCM的使用。
研究了二自由度被动和主动隔振系统中的惯性元件。因为无源隔离器中包含的惯性元件可以扩大负反馈增益和主动阻尼，即惯性元件能够实现更大的稳定裕度，这有利于亚临界隔振问题[15]。
4.本文方法设计：
（1）本文采用了一种Halbach磁铁阵列的音圈电机模型，在本文第二节给出了该音圈电机的磁场模型；
（2）为了识别作用力$F_u$至隔振台六自由度状态的变化关系，采用混合函数(hybrid funtions, HFs)的方法对系统的多输入多输出(MIMO)系统进行识别。
时不变系统的状态空间被描述为：$\dot{x}(t)=A x(t)+B u(t)$
在数学上，任何平方可积函数都可以用混合函数（HFs）集表示，混合函数集由采样保持函数（SHF）和三角函数（TF）组成[22, 23]。HF方法可应用于许多线性连续时间齐次和非齐次系统的合成和识别。HF方法用于参考文献中单输入单输出（SISO）系统的分析[24]。现在，该方法将进一步推导并应用于MIMO系统的识别。（识别系统状态方程的状态矩阵$A$）
（3）主动隔振系统的复合非线性反馈控制(Composite nonlinear feedback control, CNF)
CNF控制律通过动态阻尼比实现了快速响应和小超调的优点，
左图所示主动隔振系统动力学模型为：
$\left[M_p\right] \ddot{P}+\left[C_p\right] \dot{P}+\left[K_p\right] P=\left[C_B\right] \dot{B}+\left[K_B\right] B+F_u+F_d$
其中, $P=\left[x_p, y_p, z_p, \theta_{x p}, \theta_{y p}, \theta_{z p}\right]^T$为隔振台运动矢量，$B$为对应的地面振动矢量，$F_u=\left[F_x, F_x, F_x, M_{\theta x}, M_{\theta y}, M_{\theta z}\right]^T$为驱动力，$F_d=\left[F_{d x}, F_{d y}, F_{d z}, M_{d \theta x}, M_{d \theta y}, M_{d \theta z}\right]^T$为外部扰动力，$\left[M_p\right]=\operatorname{diag}\left[m, m, m, I_x, I_y, I_z\right]$为参数矩阵，$C_p$, $K_p$, $C_B$, $K_B$为系统转矩到系统先运动转换的参数矩阵，除$z$轴外，水平方向的转动和平动均具有耦合
主动隔振系统具备四个水平驱动器AH和四个垂直驱动器AV，基于执行器与振动之间的力和力矩平衡原理，执行器的动力学模型为：$F M=\left[T_A\right] A V H$，其中，$F M=\left[F_x, F_y, F_z, M_{\theta x}, M_{\theta y}, M_{\theta z}\right]^T$为力和力矩，$A V H=[A V_1, A V_2, A V_3, A V_4, A H_1,A H_2,A H_3,A H_4$为驱动力矢。
基于左图所示阵列放置传感器，可以得到传感器数据和隔振台运动之间的关系：$S=\left[T_s\right] P o S$，其中$S=\left[S H_1, S H_2, S H_3, S V_1, S V_2, S V_3\right]^T$表示传感器的位置矢量，$\operatorname{Pos}=\left[x_p, y_p, z_p, \theta_{x p}, \theta_{y p}, \theta_{z p}\right]^T$为运动矢量
（4）CNF控制器设计：
多自由度系统普遍存在模态耦合，模态分解对控制方法具有重要意义。
在不考虑地面振动下，主动隔振系统模型为：$\left[M_p\right] \ddot{P}+\left[C_p\right] \dot{P}+\left[K_p\right] P=F_u$
本文中的参数辨识即为对此公式中的参数进行辨识，$\left[\begin{array}{l}\dot{x}_1 \ \dot{x}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{0} & \mathbf{I} \ -\left[M_p\right]^{-1}\left[K_p\right] & -\left[M_p\right]^{-1}\left[C_p\right]\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\mathbf{0} \ {\left[M_p\right]^{-1}}\end{array}\right] F_u$
代入模态矩阵进行模态分解，可得：$\left(V_1^{\prime}\left[M_p\right] V_1 s^2+V_1^{\prime}\left[C_p\right] V_1 s+V_1^{\prime}\left[K_p\right] V_1\right) \eta=V_1^{\prime} F_u(s)$，其中：$\eta=\left[\begin{array}{llllll}\eta_1 & \eta_2 & \eta_3 & \eta_4 & \eta_5 & \eta_6\end{array}\right]^T$，$V_1^{\prime} F_u(s) \triangleq f=\left[\begin{array}{llllll}f_1 & f_2 & f_3 & f_4 & f_5 & f_6\end{array}\right]^T$，
重写模态解耦后的方程为：$\left[M_\eta\right] \ddot{\eta}+\left[C_\eta\right] \dot{\eta}+\left[K_\eta\right] \eta=f$，其中：$\left[M_\eta\right]=V_1^{\prime}\left[M_p\right] V_1=I$，$\left[C_\eta\right]=V_1^{\prime}\left[C_p\right] V_1$和$\left[K_\eta\right]=V_1^{\prime}\left[K_p\right] V_1$均为对角阵。
考虑到阻尼矩阵中主要对角元素和其余元素之间的大小顺序，可以将非对角元素视为零，即实现完全的模态分解。因此，CNF控制器可以设计为SISO系统。例如，从第一输入到第一输出，微分方程由下式给出：$\ddot{\eta}_1+9.24 \dot{\eta}_1+965.52 \eta_1=f_1$